Analyse de stabilité des évolutions quasi-statiques de systèmes standard dissipatifs

Abstract

Cette étude est consacrée à la stabilité de la réponse quasi-statique de systèmes standard dissipatifs (visco-élastiques, visco-plastiques ou élasto-plastiques). Dans le cas de solides visqueux (visco-élastiques ou visco-plastiques), pour lesquels la réponse à une sollicitation est en partie différée dans le temps, l’absence d’équilibre nous suggère naturellement d’étudier la stabilité de leurs évolutions quasi-statiques. Dans le cas de solides élasto-plastiques, cette approche est motivée par le fait que, bien souvent, nous sommes en présence d’une réponse quasi-statique pour un trajet de chargement donné ; même si cette évolution représente une succession d’états d’équilibres. Cette notion de stabilité au sens des trajectoires est donc plus générale que celle d’un équilibre, plus communément étudiée en mécanique. Elle généralise d’ailleurs l’étude de stabilité d’un état d’équilibre, qui peut être vu comme un cas particulier de trajectoires. La principale difficulté rencontrée dans l’analyse de stabilité de solutions non-stationnaires vient du caractère non autonome des équations différentielles gouvernant leur évolution. Quelques résultats partiels, mais beaucoup moins généraux que le théorème de stabilité de Lyapunov pour un équilibre, peuvent être trouvés pour des systèmes linéaires non autonomes. Ainsi, l’application de la méthode de linéarisation de Lyapunov ne donne qu’une réponse partielle, car elle ne s’applique que pour des systèmes suffisamment réguliers, d’une part, et conduit à des équations non autonomes, d’autre part. Pour les solides visco-élastiques, nous appliquons cette méthode de linéarisation qui nous donne une condition de stabilité asymptotique basée sur la définie positivité de la seconde variation de l’énergie. Pour des solides à potentiel de dissipation moins régulier, élasto-plastiques ou visco-plastiques, une approche par estimations directes est appliquée et nous donne une condition suffisante de stabilité basée sur la positivité de la seconde variation de l’énergie le long de la réponse considérée. Ce critère unifié représente une extension du critère de seconde variation, bien connu en théorie de stabilité élastique, au cas de stabilité d’évolutions quasi-statiques. Plus récemment, une version étendue de l’équation d’évolution de Biot a été considérée pour discuter la stabilité d’une réponse quasi-statique dans le cadre de matériaux standard généralisés. On montre également que pour les théories à gradients cette équation reste valide, puisque les gradients d’ordres supérieurs peuvent être introduits dans les expressions des deux potentiels (énergie libre et dissipation). Ainsi, l’étude de stabilité d’une évolution quasi-statique gouvernée par l’équation de Biot étendue a été discutée, nous permettant de faire une généralisation du critère de stabilité de seconde variation de l’énergie.