Modélisation par éléments finis de type solide-coque de structures piézoélectriques

Abstract

Dans les dernières décennies, les structures à parois minces intégrant des couches ou patchs de matériaux piézoélectriques ont eu un essor. Ils sont utilisés pour le contrôle des vibrations et de forme, le contrôle acoustique, l’auscultation d'ouvrage de génie civil et aussi dans le domaine de la santé, entre autres. La prédiction du comportement de tels matériaux devient donc indispensable pour leur bonne mise en œuvre. L’un des moyens les moins onéreux pour ce faire est la modélisation numérique, dont le plus répandu demeure la méthode des éléments finis. Depuis les premiers travaux, plusieurs outils ont été proposés dans la littérature pour modéliser le mieux possible les structures piézoélectriques. Beaucoup d’éléments finis tant 2D que 3D ont été développés. Malgré tous ces modèles présents dans la littérature, force est de constater une pénurie d’éléments capables de modéliser à moindre coût des structures combinant couches fines et couches épaisses. La seule alternative demeure un maillage fin avec des éléments volumiques. Ce travail propose l’extension des éléments finis SHB8PS et SHB20, respectivement présentés dans, pour la modélisation des structures contenant des matériaux piézoélectriques. Pour ce faire, des degrés de libertés électriques ont été greffés aux éléments ci-haut en vue de prendre en compte le couplage mécanique-électrique. La loi de contrôle de type PD (Proportional Derivative) a été implémentée pour le contrôle des vibrations. Pour résoudre ce dernier, le solveur « diamant » (DIfférentiation Automatique de la Méthode Asymptotique Numérique Typée) a également été étendu. Ceci a permis de résoudre le problème en prenant en compte la dépendance en fréquence résultant de la partie en vitesse de la loi de contrôle. Pour valider cette nouvelle approche, des tests en statique et vibrations ont été effectués sur des poutres, plaques et coques dans diverses configurations. Les résultats sont confrontés à ceux donnés par les éléments de référence C3D20E (3D quadratique avec ddls piézoélectriques) d’Abaqus et les éléments HEX20E (éléments hexaédriques basiques à interpolation quadratique et avec ddls piézoélectriques). Ce dernier choix (HEX20E codé dans Matlab) est motivé par le fait que certains calculs, tels que la prise en compte du contrôle, ne pouvaient pas se faire avec Abaqus. Il ressort de tous ces cas tests que les éléments SHB8PSE et SHB20E nécessitent moins de degrés de liberté que le C3D20E pour converger. Quelques résultats phares de la modélisation proposée sont présentés ci-dessous.